問題の解き方

大学受験の数学Ⅲの複素数平面の\(z\overline{z}=|z|^2\)の使い方

複素数平面のバーの使い方

 

数学Ⅲの複素数平面の\(z\overline{z}=|z|^2\)は使う場面を抑えないと入試でうまく使うことができない

 

複素数平面のバーの使い方に苦しむ受験生
複素数平面のバーの使い方に苦しむ受験生

複素数平面のバーが上手く使いこなせないな〜
使い方のコツみたいなのがあればな〜
誰か教えてくれないかな。

 

といった悩みに当サイト(数がく部)の管理人でありある医学部受験予備校の看板講師講師のuheiがお答えします。

\(z\overline{z}=|z|^2\)は複素数平面でよく見かけますが何となく使う人が多いですよね。

学校や塾や予備校でもそういう授業をする人がいますがそれだと入試の問題を見た時に問題が解けたり解けなかったりして問題が解けなかったら合否に影響する可能性があります。

それはマズく私なりにこういう時に使えばいいというのがあるのでその説明をします。

\(z\overline{z}=|z|^2\)ですが絶対値(| |のこと)がありますよね?

絶対値がある時にこの式を使うと覚えましょう。

って説明しても何のことか分からないので具体的な問題で説明します。

まずは簡単な問題です。

\(|z-1|=|z+i|\)・・・①,\(2|z-i|=|z+2i|\)・・・②を満たす複素数\(z\)を求めよ

問題文に絶対値がある

絶対値があるので①と②の両辺を2乗します。

①の両辺を2乗すると\(|z-1|^2=|z+i|^2\)となって
\(z\overline{z}=|z|^2\)の関係式を使うと

\((z-1)\overline{(z-1)}=(z+i)\overline{(z+i)}\)

\((z-1)(\overline{z}-1)=(z+i)(\overline{z}-i)\)

この式をただ展開してまとめると

\((-1+i)z=(1+i)\overline{z}\)・・・①’となります

次は②を式変形します。

②の両辺を2乗すると\(4|z-i|^2=|z+2i|^2\)となって
\(z\overline{z}=|z|^2\)の関係式を使うと

\(4(z-1)\overline{(z-i)}=(z+2i)\overline{(z+2i)}\)

\(4(z-1)(\overline{z}-i)=(z+i)(\overline{z}-2i)\)

この式をただ展開してまとめると

\(z\overline{z}+2zi-2i\overline{z}\)・・・②’となります

 

求めたい物に対して必要がない物は消す

求めたい物は\(z\)なので\(\overline{z}\)が邪魔ですよね。

だから①’と②’のどっちかから\(「\overline{z}=」\)にしてもう片方の式に代入します。

どっちから\(「\overline{z}=」\)にしても労力は変わらないと思うので①’を式変形します。

 

式を文字で割る時は必ず0になるかならないかを確認する

①’の両辺から\(\overline{z}=\)にする時に\(1+i\)で両辺で割るので0になるかならないかの確認をしますが0にならないので\(1+i\)で両辺で割ります。

すると\(\displaystyle \overline{z}=\frac{-1+i}{1+i}z\)となり②’に代入して

\(\displaystyle z・\frac{-1+i}{1+i}z+2zi-2i\frac{-1+i}{1+i}z=0\)

両辺にただ\(1+i\)をかけて式をまとめて次数に高い順に並べると

\((-1+i)z^2+4iz=0\)

\(z\{(-1+i)z+4i\}=0\)

\(z=0,\displaystyle \frac{2i}{1-i}\)となります。

 

地方国立大学の採点方法って気になりませんか?

国立大学の採点方法ですが旧帝大は採点基準が恐らくありますが地方国立は恐らくない所が多いです。(私が大学生の時と他の大学の大学院生の時は指導教官から採点基準はないと聞きました。)

採点方法って気になりませんか?このことについて記事を投稿していますので読めば「えっ、こんなことしていいの?」って思うはずです。

私が大学生の時に採点のやり方を聞いてドン引きしました。

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次は少し難しくなります。

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