問題の解き方

大学受験の数学Ⅲの複素数平面での漸化式の問題は超パターンで簡単

大学受験の数学Ⅲの複素数平面での漸化式の問題は超パターンで簡単

複素数平面での漸化式の問題の解き方を解説

複素数平面で漸化式の問題がありますが解き方が決まっています。

入試にも出題されていて解き方を覚えていれば解くことができるので解き方の解説をします。

問題

\(z_1=3\)および漸化式\(z_{n+1}=(1+i)z_n+i(n≧1)\)によって定まる複素数からなる数列\({z_n}\)について以下の問いに答えよ。

(1)\(z_nを求めよ\)

(2)\(z_{21}\)を求めよ

 

数列の特性方程式と解き方が同じ

(1)数列の漸化式で例えば\(a_{n+1}=3a_n+4\)・・・①の解き方は\(a_{n+1}\)と\(a_n\)をαと置いて解きますよね、これとなぜか同じです。

\(a_{n+1}=3a_n+4\)の解き方が分からない人は漸化式の解き方について記事を書いているのでそれを読んでください。

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だから\(z_{n+1}\)と\(z_n\)をαと置いて解きます。

\(α=(1+i)α+i\)・・・②として①-②とします。

すると\(z_{n+1}-α=(1+i)(z_n-α)\)・・・③

②からαを求めると\(α=-1\)で③に代入します。

すると\(z_{n+1}+1=(1+i)(z_n+1)\)になります。

\(z_{n+1}+1\)と\(z_n+1\)を1つのかたまりと見ると等比数列の形になっています。

だから一般項は\(z_n+1=(z_1+1)(1+i)^{n-1}\)です。

そして\(z_1=3\)なので\(z_n+1=(3+1)(1+i)^{n-1}\)

\(z_n+1=4(1+i)^{n-1}\)より\(z_n=4(1+i)^{n-1}-1\)となります。

 

地方国立大学の採点のやり方って気になりませんか?

解答を説明しながら書いていますが国立大学の採点のやり方って気になりませんか?

旧帝大みたいな偏差値が凄く高い所は採点基準はありますが地方国立大学の場合は恐らくないです。

私は大学、大学院が地方国立大学ですが自分の指導教官から採点について聞いていて「ここまで教えていいの?」っていう位採点のやり方を教えてくれて引きました。

採点のやり方を知らない受験生がほとんどのはずなので記事にしています。

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複素数平面で20乗を見たらやり方がある

(2)\(z_{21}\)ですが(1)の結果に\(n=21\)と代入します。

すると\(z_{21}=4(1+i)^{20}-1\)・・・③となりますが\((1+i)^{20}\)を直接20乗してはダメです、異常に時間がかかります。

ド・モアブルの定理を使います。

\(1+i\)を極形式にして\(\sqrt{2}(cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4})\)になります。

よって\((1+i)^{20}=\{\sqrt{2}(cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4})\}^{20}\)となります。

この式を計算すると\(2^{10}(cos5π+isin5π)=-4096\)です。

よって③は\(z_{21}=4(1+i)^{20}-1=-4097\)となります。

 

理系は数学Ⅲの勉強に力を入れた方がいい

数学Ⅲは解き方を覚えれば基本的に即点数に繋がるし国立大学を受験する人は2次試験で逆転合格できるかもしれません。

私はセンター試験で失敗してD判定に近いC判定でしたが2次試験で逆転合格できました。

理系は数学Ⅲに力を入れて勉強した方がいい
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説明を終わります。