問題の解き方

大学受験の数学Ⅲの複素数平面の問題で困ったらこれで解決できるかも

数学Ⅲの複素数平面でどうすればいいか分からない時の解き方

複素薄平面の問題でどうしても解くことができない時があると思います。

特に式から解かないといけない場合ですが複素数zを置くと解ける時があります。

置き方ですが2通りあります。

  • \(z=a+bi\)・・・①
  • \(z=r(cosθ+isinθ)\)(上の式を極形式にした形)・・・②

②はrの値がある時に使う印象ですがまず「①で問題が解けないかな?」と考えるといいです。

具体的に問題を解いて説明します。

\(|z|=1かつ|z+i|=\sqrt{3}\)を満たす複素数zについて,次の値を求めよ。

(1)\(z\overline{z}\)  (2)\(z-\overline{z}\)   (3)z

(3)を説明したいので(1),(2)はさらっと説明します。

(1)\(|z|=1\)の両辺を2乗して\(|z|^2=1\)

よって\(z\overline{z}=1\)・・・①となります

(2)\(|z+i|=\sqrt{3}\)の両辺を2乗して\((z+i)\overline{(z+i)}=3\)

バーを分割して\((z+i)(\overline{z}-i)=3\)

ただ展開すると\(z\overline{z}-iz+i\overline{z}+1=3\)

(1)より\(z\overline{z}=1\)なので\(2-iz+i\overline{z}=3\)

\(i(z-\overline{z})=-1\)

よって\(z-\overline{z}=-\frac{1}{i}\)

右辺の分母分子にiをかけて\(z-\overline{z}=-\frac{i}{i^2}\)

よって\(z-\overline{z}=-\frac{i}{-1}=i\)・・・②となります。

それでは本題の解き方を使う(3)の説明をします。

条件式は使い切ったのですが前の( )は次の( )を解くために普通はあります。

だから(1)の結果の①と(2)の結果の②を使って\(\overline{z}\)を消せばこの問題は解くことができます。

ただそれがいつでもできるわけではないですよね、この問題がたまたま解けるだけです。

だからあえて別のやり方で説明します。

 

置いて解いてみる

前の( )を使って\(\overline{z}\)が消せなかったらどうすればいいか分からないですがそんな時は\(z=a+bi\)(a,bは実数)と置いて解きます。

(1)の結果の①に\(z=a+bi\)を代入すると\((a+bi)(a-bi)=1\)より\(a^2+b^2=1\)

(2)の結果の②に\(z=a+bi\)を代入すると\((a+bi)-(a-bi)=i\)より\(b=\frac{1}{2}\)

出てきた2つの式から\(a=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)となり\(z=a+bi\)は\(z=\pm{\frac{\sqrt{3}}{2}}+\frac{1}{2}i\)となります。

 

地方国立大学の採点のやり方って気になりませんか?

解答を説明しながら書いていますが国立大学の採点のやり方って気になりませんか?

旧帝大みたいな偏差値が凄く高い所は採点基準はありますが地方国立大学の場合は恐らくないです。

私は大学、大学院が地方国立大学ですが自分の指導教官から採点について聞いていて「ここまで教えていいの?」っていう位採点のやり方を教えてくれて引きました。

採点のやり方を知らない受験生がほとんどのはずなので記事にしています。

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次は入試の問題で同じ解き方をします。

0でない複素数\(z\)に対して\(w=z+\frac{1}{z}\)とする。このとき,\(w\)が実数となるような\(z\)全体が表す複素数平面上の図形を図示せよ。

\(z=a+bi\)と置いてもうまくいかなそう

\(z+z^{-1}\)に\(z=a+bi\)(a,bは実数)を代入すると\(a+bi+(a+bi)^{-1}\)になりますが\((a+bi)^{-1}\)が計算できなくてどうしようもないです。

だから\(z=r(cosθ+isinθ)(r>0)\)と代入します。

すると

\(r(cosθ+isinθ)+\{r(cosθ+isinθ)\}^{-1}\)
=\(r(cosθ+isinθ)+r^{-1}\{cos(-θ)+isin(-θ)\}\)
=\(r(cosθ+isinθ)+r^{-1}(cosθ-isinθ\}\)
=\((r+\frac{1}{r})cosθ+(r-\frac{1}{r})sinθi\)となります。

この式が実数になるには虚部が0になればいいです。

よって\((r-\frac{1}{r})sinθi=0\)より

\(r-\frac{1}{r}=0\)または\(sinθ=0\)となり場合分けして解きます。

(ⅰ)\(r-\frac{1}{r}=0\)の時

\(r-\frac{1}{r}=0\)をただ解くと\(r^2=1\)

\(r>0\)より\(r=1\)

(ⅱ)\(sinθ=0\)の時

\(sinθ=0\)と\(sin^2θ+cos^2θ=1\)より\(cosθ=\pm1\)

よって\(z=r(cosθ+isinθ)\)に代入して\(z=\pm r\)になります。

(ⅰ)と(ⅱ)を合わせた↓の図が答えです。

複素数平面の問題でどうすればいいか分からない時に置いて解けば問題が解けるかも知れせん。

説明を終わります。