問題の解き方

数学Ⅲの複素数平面の\(α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6\)の考え方

数学Ⅲの複素数平面の\(α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6+α^6\)の考え方

数学Ⅲの複素数平面の\(α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6\)みたいな問題は絶対に解けないといけない

数学Ⅲの複素数平面の問題で\(α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6+α^6\)みたいな問題がありますが入試に時々出題されます。

解き方が決まっていて入試で出た場合解けないとまず落ちるので入試の問題を使って解き方の解説をします。

まずはこれです。

問題1

複素数\(α=cos\frac{2π}{7}+isin\frac{2π}{7}\)に対し,次の式の値を求めよ。ただし,iは虚数単位とする。

(1)\(α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6\)

(2)\(\frac{1}{1-α}+\frac{1}{1-α^6}\)

(3)\(\frac{1}{1-α}+\frac{1}{1-α^2}+\frac{1}{1-α^3}+\frac{1}{1-α^4}+\)
\(\frac{1}{1-α^5}+\frac{1}{1-α^6}\)

(4)\(\frac{α^2}{1-α}+\frac{α^4}{1-α^2}+\frac{α^6}{1-α^3}+\)
\(\frac{α^8}{1-α^4}+\frac{α^{10}}{1-α^5}+\frac{α^{12}}{1-α^6}\)

(1)超定番問題で少し変則的な形でも出題されます。

 

右辺が1になるようにする

どうやって解くかですが問題文にある\(α=cos\frac{2π}{7}+isin\frac{2π}{7}\)の右辺が1になるように両辺を「〜乗」しますが7乗でできますよね。

だから7乗するとド・モアブルの定理より

\(α^7=cos\frac{2π}{7}×7+isin\frac{2π}{7}×7\)
\(=cos2π+isin2π=1\)となります。

そして右辺の1を左辺にやると\(α^7-1=0\)です。

 

この因数分解のやり方は知識として知っておこう

左辺を因数分解しますがこれは知識として知っておくといいです。

\(α^7-1\)
\(=(α-1)(α^6+α^5+α^4+α^3+α^2+α+1)\)

これは\(α^7\)の乗数が変わっても同じことができます。

\(α^6\)
\(=(α-1)(α^5+α^4+α^3+α^2+α+1)\)

\(α^5-1\)
\(=(α-1)(α^4+α^3+α^2+α+1)\)とかです。

話を戻して

\(α^7-1\)
\(=(α-1)(α^6+α^5+α^4+α^3+α^2+α+1)\)なので\(α^7-1=0\)は
\((α-1)(α^6+α^5+α^4+α^3+α^2+α+1)\)
\(=0\)・・・①となります。

 

式を文字で割る時に気をつけないといけないこと

両辺を\(α-1\)で割ることができれば答えを出すことができますが式を文字で割る時は0だったら割ることができないので必ず0になるかならないかの確認をしないといけないです。

問題文の\(α=cos\frac{2π}{7}+isin\frac{2π}{7}\)より\(α≠1\)なので\(α-1≠0\)となります。

よって①の両辺を\(α-1\)で割って\(α^6+α^5+α^4+α^3+α^2+α=0\)になります。

 

地方国立大学の採点のやり方って気になりませんか?

解答を説明しながら書いていますが国立大学の採点のやり方って気になりませんか?

旧帝大みたいな偏差値が凄く高い所は採点基準はありますが地方国立大学の場合は恐らくないです。

私は大学、大学院が地方国立大学ですが自分の指導教官から採点について聞いていて「ここまで教えていいの?」っていう位採点のやり方を教えてくれて引きました。

採点のやり方を知らない受験生がほとんどのはずなので記事にしています。

大学受験の数学の記述はこう書けば大丈夫
大学受験の数学で記述の解答の書き方を独学では知ることができない。 といった悩みに当サイト(数がく部)の管理人でありある医学部受験予備校の看板講師講師のuheiがお答えしま...

 

複素数平面でこれは意識しておいた方がいい

(2)(1)で\(α=cos\frac{2π}{7}+isin\frac{2π}{7}\)の両辺を7乗して\(α^7=1\)・・・②にしましたが複素数平面の問題で使う時があるので意識しておいた方がいいです。

値を求める式\(\frac{1}{1-α}+\frac{1}{1-α^6}\)に②を使いたいのでこうします。

\(\frac{1}{1-α}\)の分母と分子に\(α^6\)をかけて
\(\frac{α^6}{α^6-α^7}=\frac{α^6}{α^6-1}\)・・・③’となります。

\(\frac{1}{1-α^6}\)の分母と分子に\(α\)をかけて
\(\frac{α}{α-α^7}=\frac{α}{α-1}\)となります。・・・③

よって
\(\frac{1}{1-α}+\frac{1}{1-α^6}=\frac{α^6}{α^6-1}+\frac{α}{α-1}\)となり通分してうまくいきません。

だから③’は使わず③だけを使います。

すると\(\frac{1}{1-α}+\frac{1}{1-α^6}=\frac{1}{1-α}+\frac{α}{α-1}\)となって通分すると\(\frac{1-α}{1-α}=1\)となります。

 

前のカッコは次のカッコを解くためのヒントになっている

国立大学の問題を解く場合は前のカッコがヒントになっていることがあるので意識しましょう。

(3)の中に(2)があるので使うのですが\(\frac{1}{1-α}+\frac{1}{1-α^6}\)の\(α\)と\(α^6\)の乗数を足すと7乗になります。

だから(3)は乗数を足して7になるようにペアを組みます。

すると

\(\frac{1}{1-α}+\frac{1}{1-α^2}+\frac{1}{1-α^3}+\frac{1}{1-α^4}+\frac{1}{1-α^5}+\frac{1}{1-α^6}\)をこう式変形します。

\(\frac{1}{1-α}+\frac{1}{1-α^6}+\frac{1}{1-α^2}+\frac{1}{1-α^5}+\frac{1}{1-α^3}+\frac{1}{1-α^4}\)

\(\frac{1}{1-α^2}+\frac{1}{1-α^5}\)と\(\frac{1}{1-α^3}+\frac{1}{1-α^4}\)ですが求め方は(2)と全く同じで分母分子にかける乗数が変わるだけです。

だから

\(\frac{1}{1-α}+\frac{1}{1-α^6}+\frac{1}{1-α^2}+\frac{1}{1-α^5}+\frac{1}{1-α^3}+\frac{1}{1-α^4}\)
\(=1+1+1=3\)です。

 

分数を足す時はこうなっていないかを確認する

\(\frac{α^2}{1-α}+\frac{α^4}{1-α^2}+\frac{α^6}{1-α^3}+\frac{α^8}{1-α^4}+\frac{α^10}{1-α^5}+\frac{α^12}{1-α^6}\)ですが

\(\frac{α^2}{1-α},\frac{α^4}{1-α^2},\frac{α^6}{1-α^3},\frac{α^8}{1-α^4},\frac{α^{10}}{1-α^5},\frac{α^{12}}{1-α^6}\)のそれぞれが分母で分子を割ることができます。

このように分数を足す時に分母で分子を割ることができる時は割った方が計算しやすくなる印象です。

だから割るとこうなります。

\(\frac{α^2}{1-α}=\frac{1}{1-α}-(1+α)\)

\(\frac{α^4}{1-α^2}=\frac{1}{1-α^2}-(1+α^2)\)

\(\frac{α^6}{1-α^3}=\frac{1}{1-α^3}-(1+α^3)\)

\(\frac{α^8}{1-α^4}=\frac{1}{1-α^4}-(1+α^4)\)

\(\frac{α^10}{1-α^5}=\frac{1}{1-α^5}-(1+α^5)\)

\(\frac{α^12}{1-α^6}=\frac{1}{1-α^6}-(1+α^6)\)

よって求める式はこうなります。

\(\frac{1}{1-α}-(1+α)+\frac{1}{1-α^2}-(1+α^2)+\)
\(\frac{1}{1-α^3}-(1+α^3)+\frac{1}{1-α^4}-(1+α^4)+\)
\(\frac{1}{1-α^5}-(1+α^5)+\frac{1}{1-α^6}-(1+α^6)\)

\(=\frac{1}{1-α}+\frac{1}{1-α^2}+\frac{1}{1-α^3}+\frac{1}{1-α^4}+\)
\(\frac{1}{1-α^5}+\frac{1}{1-α^6}-\)
\(6-(α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6)\)

\(=3-6-(-1)=-2\)となります。

次は少し変則的な問題です。

問題

複素数\(α(α≠1)\)を1の5乗根とし,\(\overline{α}\)を\(α\)に共役な複素数とするとき,次の問いに答えよ。

(1)\(α^2+α+1+\frac{1}{α}+\frac{1}{α^2}\)であることを示せ。

(2)(1)を利用して,\(t=α+\overline{α}\)は\(α^2+α+1=0\)を満たすことを示せ。

(1)と「αの〜」=1がある時は↓のやり方を覚えた方がいいです、問題1(1)と同じことをします。

\(α^5=1\)より\((α-1)(α^4+α^3+α^2+α+1)=0\)でα≠1より
\(α^4+α^3+α^2+α+1=0\)となります。そして証明したい式を作るために\(α^2\)で両辺を割ります。

すると\(α^2+α+1+\frac{1}{α}+\frac{1}{α^2}\)となり証明が完了しました。

 

複素数平面で時々使うやり方

(2)は\(t=α+\overline{α}\)の中に\(\overline{α}\)がありますがこうやって登場させると覚えましょう。

(1)で\(α^5=1\)がありましたがこう式変形します。

両辺に絶対値を付けて\(|α^5|=|1|\)

左辺の乗数と絶対値の位置をひっくり返して\(|α|^5=|1|\)

5乗を取って\(|α|=1\)

両辺を2乗して\(|α|^2=1\)

\(|α|^2=α\overline{α}\)より\(α\overline{α}=1\)

よって\(\overline{α}=\frac{1}{α}\)となりました

だから\(t=α+\overline{α}=α+\frac{1}{α}\)です。

これを(1)の結果に使うために(1)の結果を式変形します。

\(α^2+α+1+\frac{1}{α}+\frac{1}{α^2}=0\)

\(α^2+\frac{1}{α^2}+α+\frac{1}{α}+1=0\)

\((α^2+\frac{1}{α^2})+(α+\frac{1}{α})+1=0\)

\((α+\frac{1}{α})^2-2+(α+\frac{1}{α})+1=0\)

\((α+\frac{1}{α})^2+(α+\frac{1}{α})-1=0\)

\(t=α+\overline{α}=α+\frac{1}{α}\)より

\(t^2+t-1=0\)となります。

この手の問題は時々出題されるので解き方を覚えてないと万が一出題されたときに焦ると思います。

 

理系は数学Ⅲの勉強に力を入れた方がいい

数学Ⅲは解き方を覚えれば基本的に即点数に繋がるし国立大学を受験する人は2次試験で逆転合格できるかもしれません。

私はセンター試験で失敗してD判定に近いC判定でしたが2次試験で逆転合格できました。

理系は数学Ⅲに力を入れて勉強した方がいい
大学受験で理系は数学Ⅲに絶対に力を入れて勉強すべき、後悔するかも 理系は2次試験で失敗した時の為にも数学Ⅲに力を入れて勉強した方がいい といった疑問に当サイト(数がく部)の...

説明を終わります。