問題の解き方

大学受験の数学Ⅲの複素数平面の軌跡の問題で早く解けるやり方を解説

複素数平面の軌跡を解説

 

 

複素数平面の軌跡の問題で苦しむ受験生
複素数平面の軌跡の問題で苦しむ受験生

複素数平面の軌跡の問題で\(z\overline{z}=|z|^2\)の形を作って解くのは分かるけどどうやって\(z\overline{z}=|z|^2\)の形を作ればいいんだろう?
形を作れたり作れなかったりが嫌だけど他の方法でできないかな?
あるなら教えて欲しいな〜

 

といった悩みに当サイト(数がく部)の管理人でありある医学部受験予備校の看板講師講師のuheiがお答えします。

\(z\overline{z}=|z|^2\)の形を作る解き方は参考書でもよく見ますが思いつけばいいのですが思いつかなかったら解けないですよね。

しかも入試でその問題が出題されて解けなかったら合否に関係する可能性があります。

 

\(z\overline{z}=|z|^2\)は使わない

私の授業では\(z\overline{z}=|z|^2\)の形を作る解き方はしません、他の方法でもっと早く解けるからです。

パターン問題なので解き方を覚えれば即点数に結びつきます。

まずは↓の問題で解き方を説明します。

\(z\)を複素数としたとき\(|z-2i|=2|z+i|\)・・・(✳︎)を満たす点P(\(z\))はどのような図形を描くか

複素数平面でこのワードがあったらする

「複素数平面でどのような図形を描くか」という軌跡の問題があったらこう考えます。

軌跡の問題ですが数学Ⅱで最初登場します。

この時動く点を\(P(x,y)\)と置きますがこの置き方に対応するのが複素数平面だと\(z=x+yi\)(\(x\),\(y\)は実数)となります。

だから複素数平面の軌跡の問題では動く点を\(z=x+yi\)(\(x\),\(y\)は実数)と置いて解きます

\(z=x+yi\)を(✳︎)に代入して

\(|x+yi-2i|=2|x+yi+i|\)となり両辺の実部と虚部をまとめます。

すると\(|x+(y-2)i|\)
\(=2|x+(y+1)i|\)となり絶対値があるので大きさを求めます。

すると\(\sqrt{x^2+(y-2)^2}\)=2\(\sqrt{x^2+(y+1)^2}\)となり\(\sqrt{ }\)を取るために両辺を2乗します。

すると\(x^2+(y-2)^2\)=4\(\{x^2+(y+1)^2\}\)となりただ両辺を展開してまとめます。

 

この答え方に注意

すると\(x^2+(y+2)^2=4\)となり「点Pは中心が(0,-2)で半径2の円を描く」となりますがこの答え方は間違っています

何が間違いかというと複素数平面を考えている時に座標を(0,-2)とは言いません、-2iと言うはずです。

だから中心の座標は-2iと答えましょう、私の生徒の多くが(0,-2)と答えます。

よって答えは「点Pは中心が-2iで半径2の円を描く」となります。

 

地方国立大学の採点のやり方は気になりませんか?

説明しながら解答を書きましたが国立大学の採点方法ですが旧帝大は採点基準が恐らくありますが地方国立は恐らくない所が多いです。(私が大学生の時と他の大学の大学院生の時は指導教官から採点基準はないと聞きました。)

採点方法って気になりませんか?このことについて記事を投稿していますので読めば「えっ、こんなことしていいの?」って思うはずです。

私が大学生の時に採点のやり方を聞いてドン引きしました。

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この問題は黄色チャートにも載っていて簡単なので入試の問題でも同じことができるというのを見せます。

\(z≠0\)である複素数\(z\)に対して,\(w=\frac{1+z}{1-z}\)・・・①とする。点\(z\)が複素数平面の虚軸上を動くとき,\(w\)が描く図形の式を求めよ。

描く図形の式を求めるのでこうする

\(w\)が描く図形の式を求めないといけないので\(w=x+yi(x,yは実数)\)と置きます。

\(z\)が邪魔なので消さないといけないですがどうやって消しましょう?

 

関係ない\(z\)はどうやって消すか?

問題文に「点\(z\)が複素数平面の虚軸上を動く」とあるのですがこれを使って条件式を作ります。

「\(z\)が純虚数」の時の条件式は「\(\overline{z}=-z\)(\(z≠0\))」ですがこの問題の場合

「点\(z\)が複素数平面の虚軸上を動く」なので\(z\)は・・・-3i,-2i,-i,0,1i,2i,3i,・・・と値を取っていくので\(z=0\)を含みます。

よって条件式は「\(\overline{z}=-z\)・・・②」となります。

①から\(z=式\)にして②に代入するために①を式変形します。

①より

\(w(1-z)=z+1\)

\((w+1)z=w-1\)・・・①’

 

式を文字で割る時は必ず0にならないかを確認する

\(w+1\)で両辺を割るのですが文字で割るのでもしかしたら0になるかもしれなく0になったら割ることができません。

だから0になるかならないかの確認をします。

\(w=-1\)の時①’は成立しません、だから\(w+1≠0\)なので①’を\(w+1\)で割ります。

すると\(z=\frac{w-1}{w+1}\)で②に代入します。

すると

\(\frac{w-1}{w+1}\)

\(=-(\overline{\frac{w-1}{w+1}})\)

\(=-\frac{\overline{w}-1}{\overline{w}+1}\)

\(=\frac{-\overline{w}+1}{\overline{w}+1}\)・・・②’

となります。

 

まとめてから代入する

ここでいきなり\(w=x+yi(x,yは実数)\)と置いて代入してもいいですが\(w\)がいっぱいあるので代入する所が多くて大変です。

だから一旦両辺を分数じゃなくして\(w\)をまとめてから\(w=x+yi(x,yは実数)\)と置いて代入します。

②’の両辺に\((w+1)(\overline{w}+1)\)をかけてただ計算をしてまとめると

\(w\overline{w}=1\)となり\(w=x+yi(x,yは実数)\)を代入すると

\((x+yi)(x-yi)=1\)

\(x^2+y^2=1\)となり複素数\(z\)は0中心半径1の円を描きます。

次の問題も入試の問題ですが少し難しいです。

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