勉強方法

高校数学Ⅲの定積分の計算の内容は参考書や教科書での独学が難しい単元

数学Ⅲの定積分はスピード命

数学Ⅲの定積分はスピードが命だけど参考書での独学では学ぶことができない

 

数学Ⅲの定積分で苦しむ受験生
数学Ⅲの定積分で苦しむ受験生
数学Ⅲの定積分の計算が遅いけど早くやる方法はないのかな〜?
学校の先生はいつも置換するけど解くのが遅い、、

 

といった悩みに当サイト(数がく部)の管理人でありある医学部受験予備校の看板講師講師のuheiがお答えします。

学校の授業ではまず置換積分を習います。

そしていーっぱい演習をさせられて解くのに慣れますが置換のデメリットはどこを置くのかひらめかないといけないのと解くのに時間がかかります。 

学校の定期テスト対策ではそれでいいですが入試ではいきなり置換を考えない方がいいです。

 

受験では置換とそうでないやり方の両方ができないといけない

数学Ⅲの定積分は解き方が決まっているタイプと置換のタイプがありますがどちらも同じ位の頻度で出題されるので両方できないといけません。

受験での数学Ⅲの定積分は速く解くのがポイントです。

解き方が決まっている場合は速く解けるのでまず解き方が決まっているタイプか考えてそうでない時に置換積分と考えると解くスピードが上がります。

この記事では解き方が決まっているタイプの6タイプを全部説明します。

この記事を読むことで分かる内容

数学Ⅲの定積分の解き方が決まっているタイプ6種類の解き方

 

対象となる学力層

一応積分はできるけどいつも置換で解く人や解き方で迷う人

 

まず↓の公式は覚えないと積分ができなくなるので覚えましょう。

覚えないといけない公式
  • \(\int cosx dx = sinx + C\)
  • \(\int sinx dx = -cosx + C\)
  • \(\int e^x dx = e^x + C\)
  • \(\int logx dx = xlogx-x + C\)
  • \(\int \frac{1}{cos^2x} dx = tanx + C\)
  • \(\int \frac{1}{sin^2x} dx = -\frac{1}{tanx} + C\)
  • \(\int a^x dx = \frac{1}{logx} ・a^x + C\)
    (Cは積分定数)

↑は問題を解きながら覚えた方がいいと思います。

それでは説明します。

解き方が決まっている6種類

↓が解き方が決まっています。

  1. 一次関数との合成タイプ
  2. f g g’タイプ
  3. f’/fタイプ
  4. 部分積分
  5. 置き方が決まっている置換その1
  6. 置き方が決まっている置換その2

 

から順番に説明します。

F(x)は原始関数(積分した後の式)、Cは積分定数とします。

1、1次関数との合成タイプ

「∫f(ax+b)dx
=1/aF(ax+b)+C」のことです。

このタイプはf(x)のxの所にxではない1次関数が入っている合成関数の積分になります。

解き方は以下の通りで問題を解きながら覚えるといいです。

1、f(ax+b)ax+bをxとしてf(x)を積分

2、積分したf(x)のxの所にax+bを代入

3、2の式をax+b(1次式)の係数aで割る

これをそのまま覚えるとキツいので私は「こう覚えましょう」と言います。

1次関数との合成タイプでは
原始関数に(1次式を)叩き込んで
(1次式の)係数で割れ

(↑は∫f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+Cと色を対応させてください)

最初にf(x)を積分するのでf(x)を探さないといけないのですが探し方は簡単でf(x)のxの所にxでない1次式が入っているものがf(x)になります。

これだけ言ったところで意味が分からないと思うので具体例で説明します。

\(\int_0^1 cos(5x+1) dx\)

まずf(x)を探さないといけないです。

探し方はf(x)のxの所にxじゃない1次式が入っているものです。

xじゃない1次式は「5x+1」です。

だからf(x)は「cosx」になります。

では解き方の手順通りに積分します。

解き方を言葉にした覚え方を↓の1、2、3それぞれの右の( )の中に書いておきますので解き方の感覚をつかんで下さい。

1、cosxを積分するとsinx(原始関数に)

2、sinxのxに5x+1を代入してsin(5x+1)(叩き込んで)

3、sin(5x+1)5x+1の係数5で割ってsin(5x+1)/5(係数で割れ)

そして答えは\(\left[\frac{sin(5x+1)}{5}\right]^1_0\)となり積分区間を代入して答えです。(計算は簡単なので省略します)

 

次はこれです。

\(\int_0^1 e^{2x+3} dx\)

まずf(x)を探さないといけないです。

探し方はf(x)のxの所にxじゃない1次式が入っているものです。

xじゃない1次式は「2x+3」です。

だからf(x)は「ex」になります。

では解き方の手順通りに積分します。

1、exを積分するとe(原始関数に)

2、exのxに2x+3を代入してe2x+3(叩き込んで)

3、e2x+32x+3の係数2で割ってe2x+3/2(係数で割れ)

そして答えは\(\left[\frac{e^{2x+3}}{2}\right]^1_0\)となり積分区間を代入して答えです。(計算は簡単なので省略します)

 

あと1つ説明します。

\(\int_0^1 (7x+5)^2 dx\)

まずf(x)を探さないといけないです。

探し方はf(x)のxの所にxじゃない1次式が入っているものです。

xじゃない1次式は「7x+5」です。

だからf(x)は「(x)²」になります。

では解き方の手順通りに積分します。

1、(x)²を積分すると(x)³/3(原始関数に)

2、(x)³/3のxに7x+5を代入して(7x+5)³/3(叩き込んで)

3、(7x+5)³/37x+5の係数7で割って{(7x+5)³/3}1/7(係数で割れ)

そして答えは\(\left[\frac{(7x+5)^3}{3}・\frac{1}{7}\right]^1_0\)となり積分区間を代入して答えです。(計算は簡単なので省略します)

次は解き方が決まっている定積分で一番重要です

 

2、f g g’タイプ

f(g(x))g'(x)dx
=F(g(x))+C」のことです。

これも合成関数ですが「1次関数の合成タイプ」はxの所に1次式が入っていたのに対してこの場合は「xの1次式じゃない式」が入っています。

そしてf(g(x))g'(x)の積になっています。

解き方は以下の通りで問題を解きながら覚えるといいです。

1、f(g(x))g(x)をxとしてf(x)を積分する

2、1のf(x)のxにg(x)を代入する

私は「こう覚えましょう」と言います。

f g g’いつもやるのはの積分(fを緑色にしているから)

(↑は∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+Cと色を対応させてください)

最初にf(x)を積分するのでf(x)を探さないといけないですが探し方は簡単でf(x)のxに1次式以外の式が入っているものを探しましょう。

その際にg'(x)f(g(x))との積になっていることを必ず確認して下さい。

g'(x)f(g(x))との積になっていなかったらこのタイプではありません。

問題を見せた方がいいので具体例で説明します。

\(\int_0^1 2xe^{x^2} dx\)

まずf(x)を探さないといけないです。

探し方はf(x)のxの所にxの1次式じゃない式が入っているものです。

xの1次式じゃない式は「x2」なのでこれがg(x)のはずです。

そしてg'(x)になるかの確認です。

g(x)x2で微分すると2xでg'(x)になっています。

だからf(x)は「ex」になります。

では解き方の手順通りに積分します。

解き方を言葉にした覚え方を( )に書いておきますので解き方の感覚をつかんで下さい。

1、f g g’いつもやるのはexの積分でexを積分するとex

2、exのxにx2を代入してex2

そして答えは\(\left[e^{x^2}\right]^1_0\)となり積分区間を代入して答えです。(計算は簡単なので省略します)

 

次はこれです。

\(\int_0^\frac{π}{2} cosxsin^2x dx\)

まずf(x)を探さないといけないです。

探し方はf(x)のxの所にxの1次式じゃない式が入っているものです。

xの1次式じゃない式は「sinx」なのでこれがg(x)のはずです。

そしてg'(x)になるかの確認です。

g(x)sinxで微分するとcosxでg'(x)になっています。

だからf(x)は「(x)2」になります。

では解き方の手順通りに積分します。

1、f g g’いつもやるのは(x)2の積分で(x)2を積分するとx3/3

2、x3/3のxにsinxを代入して(sinx)3/3

そして答えは\(\left[\frac{(sinx)^3}{3}\right]^\frac{π}{2}_0\)

となり積分区間を代入して答えです。(計算は簡単なので省略します)

 

あと1つ説明します。

\(\int_1^2 \frac{(logx)^2}{x} dx\)

まずf(x)を探さないといけないです。

探し方はf(x)のxの所にxの1次式じゃない式が入っているものです。

xの1次式じゃない式は「logx」なのでこれがg(x)のはずです。

そしてg'(x)の確認です。

g(x)logxで微分すると1/xでg'(x)になっています。

だからf(x)は「(x)2」になります。

では解き方の手順通りに積分します。

1、f g g’いつもやるのは(x)2の積分で(x)2を積分すると(x)3/3

2、x3/3のxにlogxを代入して(logx)3/3

そして答えは\(\left[\frac{(logx)^3}{3}\right]^2_1\)

となり積分区間を代入して答えです。(計算は簡単なので省略します)

 

3、f’/fタイプ

「∫f'(x)/f(x)dx=log|x|+C」のことです。

積分する式が分数の時はこのタイプであることが多いです。

解き方は以下の通りで問題を解きながら覚えるといいです。

1、分母を微分して分子になるか確認する

2、分母を微分して分子になっていたら積分結果はlog|分母|

私は「こう覚えましょう」と言います。

f’/fではlog|分母|

 

具体例で説明します。

\(\int_0^1 \frac{2x+1}{x^2+x} dx\)

分母のx2+xを微分すると2x+1 になります。

だから積分するとlog|2x+1|

そして答えは\(\left[log|x^2+x|\right]^2_1\)となり積分区間を代入して答えです。(計算は簡単なので省略します)

 

次はこれです。

\(\int_0^\frac{π}{2} \frac{sinx}{cosx} dx\)

分母のcosxを微分すると−sinxで分子にがありません。

だから(sinx/cosx)・(−1)とすればいいです(「・(−1)はつじつま合わせのためについている」)

そして積分するとlog|cosx|

そして答えは\(\left[-log|cosx|\right]^\frac{π}{2}_0\)となり積分区間を代入して答えです。(計算は簡単なので省略します)

 

あと1つ説明します。

\(\int_1^2 \frac{1}{xlogx} dx\)

分母を微分しても分子になりませんがこうすれば大丈夫です。

\(\int_1^2 \frac{\frac{1}{x}}{logx} dx\)

分母を微分すると分子になるので積分するとlog|logx|

そして答えは\(\left[log|cosx|\right]^2_1\)

となり積分区間を代入して答えです。(計算は簡単なので省略します)

 

4、部分積分

「∫f(x)g(x)dx
=F(x)g(x)−∫F(x)g'(x)dx・・・(✳︎)のことです。

これが嫌いな受験生が多いですがやっていることは単純です。

解く手順を説明します。

1、f(x)かg(x)のどちらかを積分する。(どっちを積分するかは慣れなのですが大体の目安があるのであとで説明をします)

f(x)を積分したとします。

2、そして「F(x)g(x)−」を書く。

3、積分しなかった方(今の場合はg(x))を微分して最初に積分したF(x)との積にして(F(x)g'(x)という意味)∫とdxをつけた∫F(x)g'(x)dxを「F(x)g(x)−」のあとに付けて出来上がりです。

1でf(x)とg(x)のどちらを積分するかですが私はこうしています。

部分積分の際にf(x)かg(x)のどちらかに「xの〜乗」がある時は

(xの〜乗)・(logx)の時:「xの〜乗」を積分

(xの〜乗)・(logx以外の式)の時は「logx以外の式」を積分

具体例で説明しますが慣れた方がいいです。

\(\int_1^2 x^2logx dx\)

解く手順通りにします。

1、x2があってlogxとの積なのでxを積分してx3/3でlogxとの積にして\(\left[\frac{x^3}{3}・logx \right]^2_1\)

2、logxを微分して1/xで(x3/3)との積にして1/x・(x3/3)で−∫とdxをつけた\(-\int_1^2 \frac{1}{x}・\frac{x^3}{3} dx\)を\(\left[\frac{x^3}{3}・logx\right]^2_1 \)のあとにつけます。

そして\(\left[\frac{x^3}{3}・logx\right]^2_1 -\int_1^2 \frac{1}{x}・\frac{x^3}{3} dx\)

を積分して終わりです。(計算は簡単なので省略します)

 

次はこれです。

\(\int_0^\frac{π}{2} xsinx dx\))

解く手順通りにします。

1、xがあってsinxとの積なのでsinxを積分して−cosxでxとの積にして\(\left[x(-cosx)\right]^\frac{π}{2}_0 \)

2、xを微分して1で(−cosx)との積にして1・(−cosx)で−∫とdxをつけた\(-\int_0^\frac{π}{2} 1・(-cosx) dx\)を\(\left[x(-cosx)\right]^\frac{π}{2}_0 \)

のあとにつけます。

そして\(\left[x(-cosx)\right]^\frac{π}{2}_0-\int_0^\frac{π}{2} 1・(-cosx) dx \)

を積分して終わりです。(計算は簡単なので省略します)

 

あと1つ説明します。

\(\int_0^1 xe^x dx\)

解く手順通りにします。

1、xがあってexとの積なのでexを積分してexでxとの積にして\(\left[xe^x\right]^1_0 \)

2、xを微分して1で(ex)との積にして1・(ex)で−∫とdxをつけた\(-\int_0^1 1・(e^x) dx\)を\(\left[xe^x\right]^1_0 \)のあとにつけます。

そして\(\left[xe^x\right]^1_0-\int_0^1 1・(e^x) dx \)

を積分して終わりです。(計算は簡単なので省略します)

次は解き方が決まっている置換積分ですがこれも解き方を覚えないといけません
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