勉強方法

数学Ⅱの等式の証明はこの記事があれば参考書や問題集はいらないはず

誰でも真似できる等式の証明のやり方

 

数学Ⅱの等式の証明の問題のために参考書、問題集を買う必要は一切ない

 

等式の証明がうまくできなくて悩む受験生
等式の証明がうまくできなくて悩む受験生

等式の証明がうまくできないな〜
いいやり方はないかな〜
だれか教えてくれないかな〜

 

といった悩みに当サイト(数がく部)の管理人でありある医学部受験予備校の看板講師講師のuheiがお答えします。

学校の授業だと何となく解けるやり方しか習わないことが多く私が受験生の時は数学自体が苦手で等式の証明問題は定期テストの問題しか解けませんでした。

問題を何となく解くと難易度が上がった時に解けなくなりますのでやり方がある場合はやり方を身に付けないといけません。

等式の証明問題は現在の入試ではほとんど出題されていませんが今後出題頻度が上がる可能性大いにあります

だから等式の証明問題の解き方を入試の問題を使って誰でもできるやり方を説明します。

私が授業で説明するやり方を説明するのでこの記事を読めばあえて参考書を買う必要はないです、そのつもりで説明します。

等式の証明だけでなく他の問題にも使える解き方や考え方も説明します。

この記事を読むことで分かる内容
  • 等式の証明のやり方
  • 他の問題にも使える考え方

 

対象となる人
  • 等式の証明ができたりできなかったりする人
  • 等式の証明のやり方がよく分からない人

それでは説明します。

いくつかの例を使って説明しますが記事をただ読むだけでは分かった気になるだけなので紙に問題を解きながら記事を読んで欲しいです。

 

まずは複雑な式から簡単な式にする等式の証明

\(a+b+c=0\)のとき,次の等式を証明せよ。

\( a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\)
\(=-3・・・①\)

やり方はこうする

等式の証明のやり方は色々ありますがまずは「複雑な(この式の形にしにくい)式→簡単な(この式の形にしやすい)式」にすると考えましょう。

 

こういう例えで考えるとイメージしやすい

イメージとしていい例えか分からないですが私は授業で↓と言います。

ケーキのスポンジがあってスポンジを盛り付けて作る(複雑な式)のと盛り付けを全て食べてしまってスポンジだけ(簡単な式)にするのはどっちが簡単ですか?

どう考えても「盛り付けを食べてスポンジにする」ですよね、盛り付けは時間がかかるけど食べるのはすぐですから。

だから盛り付け(複雑な式)を取ってスポンジ(簡単な式)にしましょう。

 

誰でも真似できる等式の証明のやり方盛り付けたケーキ、盛り付けに時間がかかる。

 

誰でも真似できる等式の証明のやり方盛り付けた状態からこうするのは簡単にできる。

 

ここは女性は見ない方がいいかも

この例えでは意味が分からなかったらこれで分かると思いますが女性がこの記事を読んでいたらここは読まないでください。

女性が化粧をするのは時間がかかるけど拭き取るのは簡単ですよね。

化粧をするのが複雑な式拭き取るのが簡単な式です。

だから等式の証明をする時は化粧の状態から拭き取った状態にします。

 

等式の条件式はこう使う

話を戻してこの問題で左辺と右辺を見比べると左辺が右辺より明らかに複雑なので左辺を式変形して右辺にします。

問題文に等式の条件式があります、「\(a+b+c=0\)」でこれを使って証明しますが等式の条件式はどの分野でもまず1文字消去でやってください、大体の問題がうまくいきます。

このことについて説明すると話が長くなり記事を投稿していますのでそれを読んでください、詳しく説明しています。

数学の等式の条件式の使い方を解説
大学受験と高校数学の参考書に載ってない等式の条件式の使い方を解説 大学受験に使える高校数学の等式の条件式の使い方を解説 といった悩みに当サイト(数がく部)の管理人でありある...

 

等式の条件式を使ってやってみる

\(a+b+c=0\)より\(a=-b-c\)となり左辺に代入します。

すると

\(a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\)

\(=(-b-c)(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{-b-c})\)
\(+c(\frac{1}{-b-c}+\frac{1}{b})\)

分数の通分をすると

\(\frac{(c+b)(-b-c)}{bc}+\frac{b(-b-c+c)}{c(-b-c)}+\frac{c(b-b-c)}{(-b-c)b}\)

\(=\frac{-(c+b)^2}{bc}+\frac{b^2}{c(b+c)}+\frac{c^2}{(bc)b}\)

まとめると

\(\frac{-(b+c)^3+b^3+c^3}{bc(b+c)}\)

\(=\frac{-3bc(b+c)}{bc(b+c)}\)

\(=-3\)

となり右辺と一致して証明完了です。

 

地方の国立大学の採点のやり方って気になりませんか?

説明しながら解答を書きましたが国立大学の2次試験の採点の仕方って気になりませんか。

旧帝大は採点基準が恐らくありますが地方国立は恐らくない所が多いです。(私が大学生の時と他の大学の大学院生の時は指導教官から採点基準はないと聞きました。)

採点方法って気になりませんか?このことについて記事を投稿していますので読めば「えっ、こんなことしていいの?」って思うはずです。

私が大学生の時に採点のやり方を聞いてドン引きしました。

大学受験の数学の記述はこう書けば大丈夫
大学受験の数学で記述の解答の書き方を独学では知ることができない。 といった悩みに当サイト(数がく部)の管理人でありある医学部受験予備校の看板講師講師のuheiがお答えしま...

次はこの問題です。

\(a+b+c=0\)のとき\(a^3+b^3+c^3-3abc=0・・・①\)を示せ。

明らかに左辺が複雑なので左辺を式変形して右辺にします。

等式の条件式があるので1文字消去をしますが
\(a+b+c=0\)より\(a=-b-c\)とします。

そして左辺に代入して0になることを示します。

やり方は簡単なのでただ答えを書きます。

答え

\(a+b+c=0\)より\(a=-b-c\)

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=(-b-c)^3+b^3+c^3-3bc(-b-c)\)

\(=0\)

よって①は成り立つ。

 

少し難しい等式の証明

次はこれです。

\(a+b+c=1・・・①,\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1・・・②\)が成り立つ時,「\(a=1\)または\(b=1\)または\(c=1\)」・・・(✴︎)が成り立つことを証明せよ。

\(a=1\)または\(b=1\)または\(c=1\)が成り立つことを証明する時はこうする

\(a=1\)または\(b=1\)または\(c=1\)が成り立つことを証明するときですが\((a-1)(b-1)(c-1)=0\)を示します。

理由は\((a-1)(b-1)(c-1)=0\)を解くと\(a=1\)または\(b=1\)または\(c=1\)が言えるからです。

 

等式の条件式がいくつかある時はどれから使うか?

等式の条件式が2つありますが\(a+b+c=1\)・・・①と\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)・・・②のどちらを使う気になりますか?

分数ではない①が扱いやすそうですよね、だからまず①を式変形しますが数学は条件式がいくつかあったら使いやすい式から手を出すと問題を解きやすいです。

①ですが\(a=1-b-c\)・・・①’として\((a-1)(b-1)(c-1)\)に代入して式変形をします。

すると\((1-b-c-1)(b-1)(c-1)\)

\(=-(b+c)(b-1)(c-1)\)・・・③

 

使っていない等式の条件式を使う時はこうする

次はまだ使ってない②を使うのですが③は\(a\)が含まれてないです。

②は\(a\)が含まれているので\(a\)を消さないといけないですが①’を使います。

②に①’を使って\(\frac{1}{1-b-c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

両辺に\(bc(1-b-c)\)をかけて

\(bc+c(1-b-c)+b(1-b-c)\)
\(=bc(1-b-c)\)・・・②’

\(③=0\)にしないといけないのですが③は因数分解の形になっているので②’を因数分解して③の形にします。

\(b\)と\(c\)の2文字ありますがどっちも最高次が同じなので\(b\)の式とします。

(数学は次数が低い文字の式と考えた方が扱いやすいので必ずどの文字が次数が低いか考えましょう)

\(b\)の式としてただ展開して次数が高い順に書くと

\((c-1)b^2+(c^2-2c+1)b-c(c-1)=0\)

\((c-1)b^2+(c-1)^2b-c(c-1)=0\)

\((c-1)\{b^2+(c-1)b-c\}=0\)

\((c-1)(b+c)(b-1)=0\)となりたまたま\(③=0\)を示すことができました。

次は違うタイプです
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