変わったタイプの等式の証明
次も等式の条件式があって1文字消去だけど条件式が増えます。
\(y+\frac{1}{z}=1・・・①,z+\frac{1}{x}=1・・・②\)のとき\(x+\frac{1}{y}=1・・・③\)を示せ。
今ある式と証明する式を見比べる
等式の条件式があるので1文字消去を考えますが「どの文字を消そう？」ってなりませんか？
条件式があって示す時ですが「条件式と示す式を見比べてすることを考える」とうまくいく時があります。
条件式は\(x,y,z\)の全ての文字がありますが証明する式は\(z\)がありません。
だから条件式から\(z\)を消そうと考えます。
②からだと簡単に\(z=\)とできるので②を式変形します。
だから\(z+\frac{1}{x}=1\)より\(z=1-\frac{1}{x}\)として①に代入します。
すると
\(y+\frac{1}{z}=1\)
\(y+\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=1\)
\(y+\frac{x}{x-1}=1\)
両辺に\((x-1)\)をかけて
\(y(x-1)+x=x-1\)
\(yx-y=-1\)・・・①’
式を文字で割る時は注意
\(yx+1=y\)となり両辺を\(y\)(文字)で割るときですが\(0\)になるか分からないので必ず\(0\)になるかならないかで場合分けをしましょう。
①’に\(y=0\)を代入すると\(1=0\)となり不成立なので\(y≠0\)です。
よって①’を\(y\)で割って
\(x+\frac{1}{y}=1\)となり③は成立します。
次はこれです。
\(a^2-bc=2・・・①,b^2-ca=2・・・②\)\((a≠b)\)のとき,\(c^2-ab=2\)・・・(✳︎)を示せ。
条件式を足したり引いたりする
「条件式をどう使うんだろう」って思いませんか？
①と②のどちらから「\(a=\)」,「\(b=\)」,「\(c=\)」にしてもうまく行かなさそうですよね。
こういう時ですが2つ以上の条件式があったら式を足したり引いたりすればうまく印象です。
とりあえず引いてみます。
①-②とすると
\(a^2-bc-(b^2-ca)=0\)となり1文字消去するために因数分解をします。
\(a\)の式と見て因数分解すると
\(a^2+ca-b(b+c)=0\)
\((a-b)(a+c+b)=0\)
\(a≠b\)より
\(a+c+b=0\)となり1文字消去するための条件式ができました。
\(a=-b-c\)・・・③として(✳︎)の左辺に代入します。
すると
\(c^2-ab\)
\(=c^2-b(-c-b)\)
\(=c^2+bc+b^2\)・・・(✳︎’)となってここからどうすることもできなくなります。
こういうやり方を知っておいた方がいい
①と②から③ができましたが①と③(もしくは②と③)を合わせて使ってないですよね。
条件式から新しい条件式ができましたが条件式と新しい条件式から別の条件式を作るというやり方を知っておきましょう。
①と③より\((-c-b)^2-bc=2\)
\(c^2+bc+b^2=2\)
となり(✳︎’)が示ました。
②と③を使ってもうまく行きますのでやってみて欲しいです。
しっかり勉強して万が一等式の証明が出題された時に備えましょう。
説明を終わります。
