勉強方法

大学受験の高校数学ⅡとⅢの関数方程式はこの記事を読めば参考書不要

数学Ⅲの関数方程式は難しくない

 

関数方程式の解き方が分からない受験生
関数方程式の解き方が分からない受験生

関数方程式はどうやって解けばいいんだろう?
解き方が分からなくていつも悩む。
解き方が色々ある気がするけど何通りあるんだろう。
誰か教えて欲しいな〜

 

といった悩みに当サイト(数がく部)の管理人uheiがお答えします。

数学Ⅲは自分で勉強をすると難しく感じますよね。

私が高校生の時は学校の授業のスピードが遅すぎて自分で勉強しないといけなかったのですが教科書の内容が理解できなくて相当苦労しました。

そして予備校で授業を受けないといけない状況になり予備校で全て勉強しました。

この記事を読んだ人が教科書や参考書を使わなくても自分で勉強できるように関数方程式について解き方を説明します。

関数方程式は式の中に\(\int\)があり\(f(x)\)を求める問題と思っていいです。

タイプが全部で3通りあり解き方を覚えないといけませんが解き方自体は複雑ではありません。

そして解き方を覚えれば即点数に繋がります

↓のタイプがあります。

関数方程式
  • 定数型
  • 変数型
  • 恒等式型

定数型と変数型は数学Ⅱでも登場しています。

定数型、変数型、恒等式型の意味が分からないと思うので具体的な問題で解き方の説明をします。

この記事を読むことで分かる内容

関数方程式の解き方。

 

対象となる人

関数方程式の解き方が分からない人。

それでは説明しますがぜひ紙に解き方を書きながら説明を読んでください。

 

数学Ⅱの定数型。

まずは数学Ⅱの簡単な問題で説明します。

問1

\(f(x)=2\int_0^1 f(t) dt+x\)が成り立つ時\(f(x)\)を求めよ。

解き方が定数型と呼ぶ理由は↓です。

\(\int_0^1 f(t) dt\)の積分区間が定数なので\(\int_0^1 f(t) dt\)の\(\ f(t)\)は分かっていませんが何かの式なので積分すると定数になるからです。 

↑は理解して覚えましょう。

理解しないと解けなくなる問題(あとでその問題の説明をします)が出てきます。

定数型の解き方は「\(\int_0^1 f(t) dt\)をkと置く」です。

\(f(x)=2\int_0^1 f(t) dt+x\)で
\(\int_0^1 f(t) dx\)=k・・・①と置きます。

「=k」とおけるのは定数区間の積分なので定数になるからです。

すると\(f(x)=2\int_0^1 f(t) dt+x\)は
\(f(x)=x\)+2k・・・②となります。

kを求めることができれば②に代入すれば\(f(x)\)を求めることができるのでkを求めます。

求め方は②を①に代入します。

②で\(f(x)=2k+x\)より
\(f(t)=2k+t\)として①に代入します。

すると\(\int_0^1 (2k+t) dt\)=kとなりこの式を解いてkを求めます。

\(\int_0^1 (2k+t) dt\)=kより

\(\left[ 2kt+\frac{ t^2 }{ 2 } \right]_0^1\)=k

\(2k+\frac{ 1 }{ 2 } \)=k

k=\( -\frac{ 1 }{ 2 } \)

②に代入して\(f(x)=-1+x\)となります。

説明しながら解答を書いたので解答だけを書きます、解答は入試でこの書き方をしても減点されないはずです。

解答

\(f(x)=2\int_0^1 f(t) dt+x\)

\(\int_0^1 f(t) dx\)=k・・・①とおく

すると\(f(x)=2\int_0^1 f(t) dt+x\)は\(f(x)=2k+x\)・・・②となる

②で\(f(x)=2k+x\)より\(f(t)=2k+t\)

①に代入して

\(\int_0^1 (2k+t) dt\)=k

\(\left[ 2kt+\frac{ t^2 }{ 2 } \right]_0^1\)=k

\(2k+\frac{ 1 }{ 2 } \)=k

k=\( -\frac{ 1 }{ 2 } \)

②に代入して\(f(x)=-1+x\)

次はこれです。

問2

\(f(x)=4\int_0^1 xf(t) dt+x\)が成り立つ時\(f(x)\)を求めよ。

\(\int_0^1 xf(t) dt\)=kとおくことはできません。

kとおくことができるのは積分したときに定数になるからでした。

今は\(\int_0^1 xf(t) dt\)に\(x\)があるので定数にならないからです。

定数にするために\(\int_0^1 xf(t) dt\)=\(x\int_0^1 f(t) dt\)として\(\int_0^1 f(t) dt\)=kとおきます。

解き方自体は問1とほとんど同じなので解答で解き方を説明します。

解答

\(f(x)=4\int_0^1 xf(t) dt+x\)

\(f(x)=4x\int_0^1 f(t) dt+x\)

\(\int_0^1 f(t) dx\)=k・・・①とおく

すると\(f(x)=4x\int_0^1 f(t) dt+x\)は\(f(x)=4kx+x\)・・・②となる

②で\(f(x)=4kx+x\)より\(f(t)=4kt+t\)

①に代入して

\(\int_0^1 (4kt+t) dt\)=k

\(\left[ 4k\frac{t^2}{2}+\frac{ t^2 }{ 2 } \right]_0^1\)=k

\(2k+\frac{ 1 }{ 2 } \)=k

k=\( -\frac{ 1 }{ 2 } \)

②に代入して\(f(x)=-2x+x=-x\)

次は数学Ⅲの定数型です、数学Ⅱとの違いは積分する式が違うだけでやる事は同じです。

 

数学Ⅲの定数型。

問3

\(f(x)=cosx+\int_0^\frac{π}{3} f(t)tant dt\)が成り立つ時\(f(x)\)を求めよ。

問1と全く同じ手順で解きます。

\(f(x)=cosx+\int_0^\frac{π}{3} f(t)tant dt\)で\(\int_0^\frac{π}{3} f(t)tant dt\)=k・・・①と置きます。

すると\(f(x)=cosx+\int_0^\frac{π}{3} f(t)tant dt\)は\(f(x)=cosx+k\)・・・②となります。

kを求めることができれば②に代入すれば\(f(x)\)を求めることができるのでkを求めます。

求め方は②を①に代入します。

②で\(f(x)=cosx+k\)より\(f(t)=cost+k\)として①に代入します。

すると\(\int_0^\frac{π}{3} (cost+k)tant dt\)=kとなりこの式を解いてkを求めます。

式を解く際に定積分をしますが数学Ⅲの定積分に関しては以前記事を投稿していますのでそれを見てください。

この記事を読めば解き方が決まった定積分はバッチリできるようになります。

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\(\int_0^\frac{π}{3} (cost+k)tant dt\)=kより

\(\int_0^\frac{π}{3} (cost+k)\frac{sint}{cost} dt)\)=k

\(\int_0^\frac{π}{3} (sint+k\frac{sint}{cost} dt)\)=k

\(\left[ -cost-klog|cost| \right]_0^\frac{π}{3}\)=k

\(-\frac{1}{2}-klog|\frac{-1}{2}|\)=k

\(-\frac{1}{2}-klog\frac{1}{2}\)=k

\(k(log\frac{1}{2}+1)\)=\(-\frac{1}{2}\)

\(k(log1-log2+1)\)=\(-\frac{1}{2}\)

よってk=\(\frac{-1}{2(1-log2)}\)

①に代入して\(f(x)=cosx+\frac{-1}{2(1-log2)}\)

説明しながら解答を書いたので解答だけを書きます。

解答

\(f(x)=cosx+\int_0^\frac{π}{3} f(t)tant dt+x\)

\(\int_0^\frac{π}{3} f(t)tant dt\)=k・・・①とおく

すると\(f(x)=cosx+k\)・・・②となる

②で\(f(x)=cosx+k\)より\(f(t)=cost+k\)で①に代入

すると\(\int_0^\frac{π}{3} (cost+k)tant dt\)=k

\(\int_0^\frac{π}{3} (cost+k)\frac{sint}{cost} dt)\)=k

\(\int_0^\frac{π}{3} (sint+k\frac{sint}{cost} dt)\)=k

\(\left[ -cost-klog|cost| \right]_0^\frac{π}{3}\)=k

\(-\frac{1}{2}-klog|\frac{1}{2}|\)=k

\(-\frac{1}{2}-klog\frac{1}{2}\)=k

よってk=\(\frac{-1}{2(1-log2)}\)

①に代入して\(f(x)=cosx+\frac{-1}{2(1-log2)}\)

という感じで数学ⅡとⅢで解き方は変わらないことが分かったと思います。

次は変数型です。
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