大学受験

数学Bの確率漸化式の問題は教科書で独学でできる、超パターンで簡単

2021年10月19日

「確率漸化式の問題がうまく解けない、式を立てることができない。やりかたってないのかな。」といった悩みに当サイト(数がく部)の管理人でありある医学部受験予備校の看板講師講師のいさじがお答えします。

確率漸化式の出題率が異常に高い

私は現役生の時は確率漸化式の問題は全く解くことができませんでした。

そして予備校で浪人して授業で習ったのですが解くのが簡単だということが分かりました。

まあパターンで解き方を知っていれば解けますがめちゃくちゃ出題率が高いです。

恐らく数学ⅠAⅡBⅢの解き方が決まった問題の中の出題率はNO1です。

私が生徒の宿題のプリントを作る時スタディエイドというプリント作成用のパソコンのソフトを使いますが確率漸化式だけ毎年いーっぱいあります。

確率漸化式場合の数漸化式がありますが確率漸化式が圧倒的に出題されます。

確率漸化式と場合の数漸化式を合わせて100問あったら99問確率漸化式です。

毎年色んな大学で出題されて私立医学部でも近年出題されるようになりました。

だから確実に解けるようにしましょう。

私立医学部の場合解けなかったら絶対に落ちます。

それくらい受験的には重要ですが私的には「解き方をただ覚えて何になるんだろう?」って感じです。

それでは解き方を説明します。

確率漸化式のタイプ1

この問題で解き方を説明します。

「Aの袋には赤球1個と黒球3個がBの袋には黒球だけが5個入っている。
それぞれの袋から同時に1個ずつ球を取り出して入れ替える操作を繰り返す。
この操作をn回繰り返した後にAの袋に赤球が入っている確率を\(a_n\)とする。
この時\(a_n\)を求めよ。」

確率漸化式の問題の特徴は確率を求めるのですが求める確率が数列で与えられています。(まれに確率で与えられていない時もあります。)

 

解き方は2通り

解き方は2通りありどっちかで解けます。

・最初の一手で場合分け

・一つ手前で場合分け 

ほとんどの問題が一つ手前で場合分けで解けます。

どういう事かはあとで説明します。

問題文の意味が理解できないと解けなくなる

確率漸化式は問題文の意味が理解できない確実に間違えるので問題文の意味を頑張って理解しましょう。

問題を解く際ですが簡単な図を書くと解きやすくなります。

私は↓の図を書きましたが同じ図でなくていいです。

確率漸化式は超パターン

 

\(a_n\)を求める時はこうする

\(a_n\)を求めるのですが漸化式から求めると覚えましょう。

だから\(a_{n+1}\)と\(a_n\)の関係式を作るのですが\(a_{n+1}\)を\(a_n\)の式で表します。

1つ手前で場合分けとは

式の立て方は\(a_{n+1}\)の\(n+1\)の1つ手前がどこにあるかで場合分けします。

これが一つ手前で場合分けです。

n回繰り返した後にAの袋に赤球が入っている確率が\(a_n\)なのですが\(a_{n+1}\)は(n+1)回繰り返した後にAの袋に赤球が入っている確率です。

1つ手前で場合分けを考えますが\(n+1\)の1つ手前の\(n\)で赤球が入っているのはAかBです。

だから\(n\)で赤球が入っているのはAなのかBなのかで場合分けをします。

だからこういう風に考えることができます。

\(a_{n+1}\)=

操作を\(n\)繰り返してAに赤球が入っていて\((n+1)\)回目の操作の後にAに赤球が入っている
または
操作を\(n\)繰り返してBに赤球が入っていて\((n+1)\)回目の操作の後にAに赤球が入っている

・・・(✳︎)

与えられてない確率は置く

操作を\(n\)繰り返してAに赤球が入っている確率が\(a_n\)ですがBに赤球が入っている確率は与えられていません

こういう時はよくあって\(b_n\)など置きます

参考書ではだいたい\(1-a_n\)と書いてありますが場合が2つの時しか使えなく場合が3つ以上の時は普通にあります。

だから\(b_n\)などと置いた方が絶対にいいです。

(✳︎)を式にします。

操作を\(n\)繰り返してAに赤球が入っていて\(a_{n+1}\)回目の操作の後にAに赤球が入っている」から式にします。

操作を\(n\)繰り返してAに赤球が入っていて」が\(a_n\)でこの時AとBの袋の中に入っている球の状態は最初のままです。

\(a_{n+1}\)回目の操作の後にAに赤球が入っている」はn回目から1回の操作をします。

Aから黒球を取ってBから黒球を取ればいいので\(\frac{3}{4}×\frac{5}{5}\)です。

よって「操作を\(n\)繰り返してAに赤球が入っていて\(a_{n+1}\)回目の操作の後にAに赤球が入っている」を式にすると\(a_n\)×\(\frac{3}{4}×\frac{5}{5}\)です。

(式が「×」になるのは「操作を\(n\)繰り返してAに赤球が入っていて」が起こって「\(a_{n+1}\)回目の操作の後にAに赤球が入っている」が起こるのは「かつ」だからです)

次は「操作を\(n\)繰り返してBに赤球が入っていて\(a_{n+1}\)回目の操作の後にAに赤球が入っている」を式にします。

操作を\(n\)繰り返してBに赤球が入っていて\(b_n\)でこの時Aの袋に黒球4個入っていてBの袋に赤球1個と黒球4個入っています。

\(a_{n+1}\)回目の操作の後にAに赤球が入っている」はn回目から1回の操作をします。

Aから黒球を取ってBから赤球を取ればいいので\(\frac{4}{4}×\frac{1}{5}\)です。

よって「操作を\(n\)繰り返してBに赤球が入っていて\(a_{n+1}\)回目の操作の後にAに赤球が入っている」を式にすると\(b_n\)×\(\frac{4}{4}×\frac{1}{5}\)です。

よって(✳︎)式にするとこうなります。

\(a_{n+1}\)=\(a_n\)×\(\frac{3}{4}\)+\(b_n\)×\(\frac{1}{5}\)・・・①

(+になるのは「操作を\(n\)繰り返してAに赤球が入っていて\(a_{n+1}\)回目の操作の後にAに赤球が入っているまたは操作を\(n\)繰り返してBに赤球が入っていて\(a_{n+1}\)回目の操作の後にAに赤球が入っている」だからです)

これは確率漸化式ではまず間違いなく使う

\(b_n\)を消さないといけないのですが\(n\)回繰り返して起こる可能性があるのは\(a_n\)\(b_n\)だけです。

よって\(a_n\)+\(b_n\)=1(確率は全部を足すと1になる)が成り立ちます。

これを使って\(b_n\)を消すのですが確率漸化式ではほぼ間違いなくこの式を使います。

よって\(a_n\)+\(b_n\)=1より\(b_n\)=1-\(a_n\)です。

そうすると①は\(a_{n+1}\)=\(\frac{3}{4}\)\(a_n\)+\(\frac{1}{5}\)(1-\(a_n\))

\(a_{n+1}\)=\(\frac{11}{20}\)\(a_n\)+\(\frac{1}{5}\)となってこの漸化式を解けばいいのです。

次の問題が少し難しいです。

問1も解き方に癖があるのでまず問1の解き方を覚えましょう。

本当によく出題されています。

完全に覚えてから次の問2の解き方を覚えましょう。

確率漸化式のタイプ2

「三角形がありその頂点を反時計回りの順にA,B,Cとする。三角形ABCにおいて点Pは頂点Aから出発し1秒経過するごとに隣の頂点へ移動する。 ただし反時計回りに移動する確率は\(\frac{2}{3}\)で時計回りに移動する確率は\(\frac{1}{3}\)とする。\(n\)を自然数とし点Pが頂点Aを出発してから\(n\)秒経過した時に頂点A,B,Cにある確率をそれぞれ\(a_n\),\(b_n\),\(c_n\)とする。

(1)\(a_{n+1}\),\(b_{n+1}\),\(c_{n+1}\)を\(a_n\),\(b_n\),\(c_n\)を用いて表せ。
(2)\(a_{n+2}\)を\(c_n\)を用いて表せ。
(3)\(a_{n+6}\),\(b_{n+1}\),\(c_{n+1}\)を\(a_n\)を用いて表せ。」

問題文を図にすると↓です。

確率漸化式は超パターン

(1)まずは\(a_{n+1}=\)を\(a_n\),\(b_n\),\(c_n\)で表します。

「\(a_{n+1}=\)」の漸化式を作るため\((n+1)\)の一つ手前で場合分けをします。

点Pが\((n+1)\)秒後に頂点Aにいるのは次の場合です。

\(a_{n+1}\)=

点Pが\(n\)秒後に頂点Bにあり\((n+1)\)秒後に頂点Aに移動する
または
点Pが\(n\)秒後に頂点Cにあり\((n+1)\)秒後に頂点Aに移動する

・・・(✳︎)

では式を作ります。

点Pが\(n\)秒後に頂点Bにあり\((n+1)\)秒後に頂点Aに移動する。」ですが「点Pが\(n\)秒後に頂点Bにあり」は\(b_n\)で「\((n+1)\)秒後に頂点Aに移動する」は\(\frac{1}{3}\)です。

だから\(\frac{1}{3}\)×\(b_n\)です。

点Pが\(n\)秒後に頂点Cにあり\((n+1)\)秒後に頂点Aに移動する。」ですが「点Pが\(n\)秒後に頂点Cにあり」は\(c_n\)で「\((n+1)\)秒後に頂点Aに移動する」は\(\frac{2}{3}\)です。

だから\(\frac{2}{3}\)×\(c_n\)です。

よって(✳︎)を式にすると次の通りとなります。

\(a_{n+1}\)=\(\frac{1}{3}\)×\(b_n\)+\(\frac{2}{3}\)×\(c_n\)

\(b_{n+1}\),\(c_{n+1}\)に関してはやり方が全く同じなので解答に書きます。

説明しながら解答を書いたので解答のみを書きます。

[解答]

\(a_{n+1}\)=

点Pが\(n\)秒後に頂点Bにあり\((n+1)\)秒後に頂点Aに移動する。
または
点Pが\(n\)秒後に頂点Cにあり\((n+1)\)秒後に頂点Aに移動する。

=\(\frac{1}{3}\)×\(b_n\)+\(\frac{2}{3}\)×\(c_n\)・・・①

同様にして

\(b_{n+1}\)=\(\frac{1}{3}\)×\(c_n\)+\(\frac{2}{3}\)×\(a_n\)・・・②
\(c_{n+1}\)=\(\frac{1}{3}\)×\(a_n\)+\(\frac{2}{3}\)×\(b_n\)・・・③

(2),(3)は解くだけなので解答に書きます。

\(a_n\)+\(b_n\)+\(c_n\)=1をまだ使ってないので使います。

[解答]

(2)

①より\(a_{n+2}\)=\(\frac{1}{3}\)×\(b_{n+1}\)+\(\frac{2}{3}\)×\(c_{n+1}\)

②,③より

\(a_{n+2}\)=\(\frac{1}{3}\)(\(\frac{1}{3}c_n+\frac{2}{3}a_n\))+\(\frac{2}{3}\)(\(\frac{1}{3}a_n+\frac{2}{3}b_n\))

=\(\frac{4}{9}(a_n+b_n)+\frac{1}{9}c_n\)

\(a_n\)+\(b_n\)+\(c_n\)=1より\(a_n\)+\(b_n\)=1-\(c_n\)

よって\(a_{n+2}\)=\(\frac{4}{9}(1-c_n)+\frac{1}{9}c_n\)

よって\(a_{n+2}\)=\(-\frac{1}{3}c_n+\frac{4}{9}\)

(3)(2)と同様に考えて\(b_{n+2}\)を\(a_n\),\(c_{n+2}\)を\(b_n\)表すと

\(b_{n+2}\)=\(-\frac{1}{3}a_n+\frac{4}{9}\),\(c_{n+2}\)=\(-\frac{1}{3}b_n+\frac{4}{9}\)

よって

\(a_{n+6}\)

=\(-\frac{1}{3}c_{n+4}+\frac{4}{9}\)

=\(-\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}b_{n+2}+\frac{4}{9})+\frac{4}{9}\)

=\(\frac{1}{9}b_{n+2}+\frac{8}{27}\)

=\(\frac{1}{9}(-\frac{1}{3}a_n+\frac{4}{9})+\frac{8}{27}\)

=\(-\frac{1}{27}a_n+\frac{28}{81}\)

[/box04]

超得点源になる問題なので何度も解いて自分の物にしましょう。

説明を終わります。