大学受験の数学ⅡとⅢの不等式の証明問題が誰でも理解できる記事

数学Ⅱと数学Ⅲの不等式の証明の問題の解き方を詳しく説明

不等式の証明で悩む受験生

不等式の証明ができたりできなかったりでやり方が分からないな〜
手順とかないのかな？
学校や塾がいきあたりばったりのやり方で証明のやり方がつかめない。
ネットで調べても見つからないけど。

といった悩みに当サイト(数がく部)の管理人でありある医学部受験予備校の看板講師講師のuheiがお答えします。

一貫性のない解き方をするのは受験的によくない

不等式の証明は慣れてないと難しいですよね。

私が受験生の時はいつもなんとなく解いていてできたりできなく問題の難易度が少しでも上がると問題が解けずいつも行き当たりばったりの解き方でした。

こうなった原因は学校の先生がいい加減な説明をしていたからです。(そういう先生が多いですが、、)

教える側になった今では不等式の証明の手順が分かりますので説明しますがこの記事を読めば独学でも勉強できると思います。

不等式の証明が分からなくて困っている人にこの記事を読んでもらえたら嬉しいです。

不等式の証明を始めたばかりの人と一応習ったことがある人の2通りの説明をします。

それでは説明します。

数学Ⅱと数学Ⅲの教科書に不等式の証明がありますがどっちにも対応しています。

ただ説明を読むのではなく紙に解答を書きながら読んで欲しいです。

まず不等式の証明を始めたばかりの人用の説明です、とにかくこうすればできます。

最初は慣れないといけないので解き方をとにかく覚えて定期テストで点を取れるようにしましょう。

↓で出てくる\(f(x)\) と \(g(x)\) は一般的な式です 。

\(f(x) = x+3\)、\(g(x) = x^2+3x\)とかをイメージしてください。

不等式の証明は\(f(x) > g(x)\)(または\(f(x) < g(x)\)を示します。

最初に習う時は\(f(x) > g(x)\)の証明をする所が多いと思いますので\(f(x) > g(x)\)の証明をします。

右辺の\(g(x)\)を左辺に移行して\(f(x)-g(x)>0\)を示します。

こういう手順で証明する

\(f(x)-g(x)\)が0より大きいことを示しますが手順は覚えましょう、「とにかくこうする」と覚えた方が楽です。

初めて見る分野を習いたての時は理屈うんぬんよりもとにかく慣れて、そして理屈を知った方が定着率がいいです。

↓です。

では簡単な問題で解き方の説明をします。

まずは因数分解で証明ができるタイプです。

この問題では\(f(x) > g(x)\)を示す際の\(f(x)\)に当たるのが\(3(ax+b)\)で\(g(x)\)に当たるのが\((a+2b)(x+2y)\)になります。

だから\(f(x) – g(x) > 0\)を示すので\(3(ax+by)-(a+2b)(x+2y) > 0\)を示します。

↑で説明したのですが\(3(ax+by)-(a+2b)(x+2y) > 0\)の示し方はまず因数分解を考えるので\(3(ax+by)-(a+2b)(x+2y)\)を展開します。

すると\(3(ax+2by)-(a+2b)(x+2y)\)

\(=(3ax+6by)-(ax+2ay+2bx+4by)\)

\(=(2ax+2by)-2ay-2bx)\)

\(=(2ax-2bx+2by-2ay)\)

\(={2x(a-b)-2y(a-b)}\)

\(=2(a-b)(x-y)\)となります。

ここで\(a > b , x > y\)なので\(a – b > 0 , x – y > 0\)となるから

\(=2(a-b)(x-y) > 0\)となります。

よって\(3(ax+2by)-(a+2b)(x+2y) > 0\)なので

\((a+2b)(x+2y) < 3(ax+by)\)が成り立ちます。

次はこれです。

まず不等式が成り立つことを示します。

\((ax+by)^2\)を左辺に移行して\((a^2+b^2)(x^2+y^2) – (ax+by)^2 ≧ 0\)を示します。

\((a^2+b^2)(x^2+y^2) – (ax+by)^2 ≧ 0\)の示し方は因数分解をします。

\((a^2+b^2)(x^2+y^2) – (ax+by)^2\)

\(=(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2)\)

\(- {(ax)^2+2abxy+(by)^2}\)

\(=a^2y^2-2abxy+b^2x^2\)

\(=(ax+by)^2\)

\(≧ 0\)となります。

よって\((a^2+b^2)(x^2+y^2) – (ax+by)^2 ≧ 0\)が成り立つので

\((a^2+b^2)(x^2+y^2) ≧ (ax+by)^2\)が示せます。

次は等号成立条件です。

等号成立条件って何？

等号成立条件は何かというと証明した不等式\((a^2+b^2)(x^2+y^2) ≧ (ax+by)^2\)において「「≧」が「=」になる時はどんな時ですか？」ということです。

等号成立条件でよく使うのが証明が終わる直前あたりの式です。

解答の「\((ax+by)^2 ≧ 0\)」((＊)のこと)です。

\((ax+by)^2 = 0\)の時を考えてax+by=0となります。

最後はこれです。

「\((f(x)-g(x)\)の最小値)>0を示す」タイプです。

\(3ab\)を右辺に移行します。

そして\(a^2+3b^2 – 3ab ≧ 0\)を示します。

\(a^2+3b^2 – 3ab\)は因数分解ができないので\((a^2+3b^2 – 3ab)\)の最小値\(≧ 0\)を示します。

文字が2種類以上ある時はこうする

文字はaとbの2種類あるのでどっちかの文字の式と見ます。

aの式と見ます。(bでもいいです)

次数が高い順に書くと

\(a^2-3ba+3b^2\)となり最小値を求めるために平方完成をします。

\((a-\frac{3b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}\)となり

最小値は\(\frac{3b^2}{4}\)で\(\frac{3b^2}{4} ≧ 0\)なので\(a^2+3b^2 – 3ab ≧ 0\)がいえます。

よって\(a^2+3b^2 ≧ 3ab\)を示ました。

とにかく問題を解いて慣れましょう。

次は不等式の証明を一応習ったことがある人用の説明です。