2次曲線

大学受験の数学Ⅲの2次曲線の回転は複素数平面を使うと簡単に解ける

大学受験の数学Ⅲの2次曲線の回転は複素数平面を使うと簡単に解ける

数学Ⅲの2次曲線での図形の回転は複素数平面を使うと楽にできる

問題を使って説明した方が早いので問題を使います。

問題

曲線\(5x^2+2\sqrt{3}xy+7y^2=16\)・・・①を原点を中心として\(\frac{π}{6}\)だけ回転移動した曲線の方程式を求めよ。

 

図形を回転するのではなく図形上の点を回転する。

図形の形が分からないので図形の回転を考えるのは無理です。

じゃあどうするかですが図形上の点を回転します、回転を式で表現できるのは複素数平面なので図形状の点を\(x+yi(x,yは実数)\)として回転した先の点を\(X+Yi(X,Yは実数)\)と置きます。

回転を式で表すと↓です。

\(X+Yi=(x+yi)(cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6})\)

右辺をただ展開すると

\(X+Yi=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+i(\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{x}{2})\)となります。

\(X,Y,x,y\)は実数なので両辺の実部と虚部は等しいです。

よって\(X=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y\),\(Y=\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{x}{2}\)が成り立ちます。

 

このやり方は計算が面倒

この2式から\(x=式,y=式\)にして①に代入して\(X,Y\)の関係式を作ってもいいですが2式を解いて\(X,Y\)の関係式を作るのは面倒ですよね?

こういう時は\(x+yi\)を回転して\(X+Yi\)とするのではなく\(X+Yi\)を回転して\(x+yi\)とします。

だから回転する角は\(-\frac{π}{6}\)で式にすると↓です。

\(x+yi=(X+Yi)\{cos(-\frac{π}{6})+isin(-\frac{π}{6})\}\)

そして右辺を展開します。

\(x+yi=\frac{1}{2}(\sqrt{3}X+Y)+\frac{1}{2}i(-X+\sqrt{3}Y)\)となり両辺の実部と虚部を比較して

\(x=\frac{1}{2}(\sqrt{3}X+Y)\),\(yi=\frac{1}{2}(-X+\sqrt{3}Y)\)となります。

そしてこの式を①に代入してただ展開してまとめると

\(5X^2+2\sqrt{3}XY+’Y^2=16\)となり\(X,Y\)を\(x,y\)に戻して

\(5x^2+2\sqrt{3}xy+’y^2=16\)となります。

 

地方国立大学の採点のやり方って気になりませんか?

解答を説明しながら書いていますが国立大学の採点のやり方って気になりませんか?

旧帝大みたいな偏差値が凄く高い所は採点基準はありますが地方国立大学の場合は恐らくないです。

私は大学、大学院が地方国立大学ですが自分の指導教官から採点について聞いていて「ここまで教えていいの?」っていう位採点のやり方を教えてくれて引きました。

採点のやり方を知らない受験生がほとんどのはずなので記事にしています。

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入試の問題に回転の考え方を使ってみる

大学受験の数学Ⅲの2次曲線の回転は複素数平面を使うと簡単に解ける

次はこの問題です。

問題

楕円\(x^2+\frac{y^2}{3}=1\)を原点の周りに\(\frac{π}{4}\)だけ回転して得られる曲線をCとする時、点\((x,y)\)が曲線C上を動く場合の\(k=x+2y\)の最大値を求めよ。

 

楕円上の点の置き方

楕円上の点ですが最初の問題は\(x+yi\)と置いていましたが楕円上の点の場合はそうしません。

\(x^2+(\frac{y}{\sqrt{3}})^2=1\)として\(x=cosθ,\frac{y}{\sqrt{3}}=sinθ\)と置きます。

だから\(x=cosθ,y=\sqrt{3}sinθ\)より楕円上の回転する点を\(cosθ+i\sqrt{3}sinθ\)と置きます。

回転を式で表すと↓です。

\(x+yi=cosθ+i\sqrt{3}sinθ\)

両辺の実部と虚部は実数なので

\(x=cosθ,y=\sqrt{3}sinθ\)となり\(k=x+2y\)に代入します。

すると\(k=cosθ+2\sqrt{3}sinθ\)となりこの式を合成すればいいのでここからの説明は省きます。

 

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説明を終わります。

 

 

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